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Dans cette note, nous présentons deux paires d'arrangements de coniques et de droites admettant une unique conique et qui forment des paires de Zariski, toutes deux de degré 9. Leurs topologies sont distinguées en utilisant les nombres de connection (connected numbers).

La construction d'arrangements de droites ayant des treillis d'intersection isomorphes mais non isotopes est une tâche complexe mais fondamentale. Dans cet article, nous nous concentrons sur de telles paires qui ne sont pas conjuguées de Galois, appelées paires non-arithmétiques. Les polygones de scission (splitting polygons) ont été introduits par l'auteur pour faciliter la construction d'arrangements dont les treillis d'intersection sont isomorphes mais non isotopes. En exploitant cette structure, nous développons deux algorithmes qui produisent des paires non-arithmétiques : le premier génère des paires sur un corps de nombres, tandis que le second produit des paires sur les rationnels. De plus, des applications explicites de ces algorithmes sont présentées, incluant une paire non-arithmétique complexe, une réelle et une rationnelle.

Cet article vise à entreprendre une exploration du comportement de l'espace des modules des arrangement de droites tout en établissant son interaction combinatoire avec la structure d'incidence de l'arrangement. Dans la première partie, nous étudions des classes combinatoires d'arrangements dont l'espace des modules est connecté. Nous unifions les classes d'arrangements simples et inductivement connexes apparus dans la littérature. Ensuite, nous introduisons la notion d'arrangements ayant une forme de pinceau rigide. Cela garantit la connectivité de l'espace des modules et est moins restrictif que la classe des arrangements C_3 de type simple. Dans la dernière partie, nous obtenons une borne supérieure combinatoire du nombre de composantes connexes de l'espace des modules. Ensuite, nous présentons des exemples avec un nombre arbitrairement grand de composantes connexes pour lesquels cette borne supérieure est une égalité.

Les questions visant à déterminer si une propriété des arrangements d'hyperplans, qu'elle soit géométrique, arithmétique ou topologique, est de nature combinatoire (c'est-à-dire déterminée par le treillis d'intersection) sont nombreuses dans la littérature. Pour aborder de telles questions et fournir une réponse négative, l'une des méthodes les plus efficaces consiste à produire un contre-exemple. À cette fin, il est essentiel de savoir comment construire des arrangements qui ont des treilles d'intersection equivalents. Plus ils seront différents, plus l'efficacité sera grande.
Dans cet article, nous présentons une méthode pour construire des arrangements de droites dans le plan projectif complexe qui ont des treillis d'intersections équivalents mais qui se trouvent dans des composantes connectées distinctes de leur espace de module. Pour illustrer l'efficacité de la méthode, nous l'appliquons à la reconstruction de tous les exemples classiques d'arrangements dont l'espace de module est non-connexe : MacLane, Falk-Sturmfels, Nasir-Yoshinaga et Rybnikov. De plus, nous utilisons cette méthode pour produire de nouveaux exemples d'arrangements de 11 droites dont les espaces de module sont formés par quatre composantes connexes.

Dans sa thèse, Cadegan-Schlieper construit un invariant de la topologie plongée d'un arrangement de droites qui généralise l'invariant I introduit par Artal, Florens et l'auteur. Ce nouvel invariant est appelé le nombre d'enlacement à boucles (loop-linking number) dans le présent article. Nous affinons le résultat de Cadegan-Schlieper en prouvant que le nombre d'enlacement à boucles est un invariant du type d'homéomorphisme du complément de l'arrangement.
Nous donnons deux méthodes efficaces pour calculer cet invariant, les deux sont basées sur la monodromie de la tresse. Comme application, nous détectons une paire de Zariski arithmétique formée par 11 droites dont les coefficients sont dans le 5e corps cyclotomique. De plus, nous prouvons également que les groupes fondamentaux de leurs compléments ne sont pas isomorphes ; c'est la paire de Zariski avec le plus petit nombre de droites qui a cette propriété. Nous détectons également un triplet de Zariski arithmétique avec 12 droites dont les compléments ont également des groupes fondamentaux non isomorphes. En annexe, nous donnons 28 paires de Zariski arithmétiques similaires détectées à l'aide du nombre d'enlacement à boucles.
Pour conclure cet article, nous donnons un théorème de multiplicativité pour l'union d'arrangements. Cela nous permet d'abord de prouver que les compléments des arrangements de Rybnikov ne sont pas homéomorphes, puis cela nous conduit à une généralisation du résultat de Rybnikov. Enfin, nous l'utilisons pour prouver l'existence d'arrangements dont les complémentaires sont homotopiquement équivalents, dont les treillis d'intersections sont également équivalents, mais qui ont des compléments non homéomorphes.

Nous prouvons l'existence d'arrangements de droites ayant le même treillis d'intersection, dont le groupe fondamental du complémentaire ou son type d'homotopie sont équivalents, et dont les plongements dans le plan projectif complexe sont non-homéomorphes. Nous donnons également deux exemples explicites, le premier est formé d'arrangements réels complexifiés tandis que le second est défini par des équations complexes.

Nous prouvons que le groupe fondamental du complémentaire d'un arrangement de droites réelles n'est pas déterminé par son treillis d'intersection, fournissant ainsi un contre-exemple à un Problème de Falk-Randell. De cela, nous déduisons que la torsion de la série centrale descendante n'est pas déterminé par la combinatoire de l'arrangement. Ce qui fournis une réponse négative à une question de Suciu.

Une question centrale dans l'étude des arrangements de droites dans le plan projectif complexe est : Quand la combinatoire d'un arrangement détermine-t-elle ses propriétés topologiques ? Dans le présent papier, nous introdusions un invariant topologique des arrangements des droites réels compléxifiés : le poids de la chambre (chamber weigth). Cet invariant est basé sur le calcul du poids des points, de la configuration duale de l'arrangement, situés dans une région particulière du plan projectif réel ; et ce, en ne travaillant qu'avec des propriétés géométriques.
En utilisant ce point de vu dual, nous construisons plusieurs exemples d'arragements réels compléxifiés ayant les même combinatoires et different plongements dans le plan projectif complexe (i.e. des paires de Zariski), qui sont distingués par cet invariant. En particulier, nous obtenons des paires avec 13, 15 et 17 droites définies sur le corps des rationels et contenant uniquement des points doubles et triples. Pour chacune d'elles, nous construisons des dégénérations contenant des points de multiplicité 2, 3 et 5, qui sont également des paires de Zariski.
Nous calculons explicitement l'espace des réalisations de la combinatoire de l'un de ces exempes et provons qu'il est formé de 2 composantes connexes. Nous obtenons également deux caractérisations géométriques de ces composantes: l'existence d'un conique tangente à 6 droites ainsi que la colinéarité de 3 points triples.

Un arrangement k-Artal est une courbe algébrique réductible composée d'une cubique lisse et de k tangentes en des points d'inflections. En étudiant les propriétés topologiques de ces sous-arrangements, nous prouvons que pour k=3,4,5,6, il existe des paires de Zariski d'arrangements k-Artal. Ces paires de Zariski peuvent être distinguées géométriquement par le nombre de triplets colinéaires dans l'ensemble des points singuliers de la courbes contenus dans la cubique.

Les "splitting numbers" et l'ensemble d'enlacement sont deux invariants topologiques des courbes algébriques planes. Ils ont été introduit par le second auteur pour les "splitting numbers" et par le JB. Meilhan et le premier auteur pour l'ensemble d'enlacement. Bien qu'ils proviennent de différent domaine des mathématiques -géométrie algébrique pour les "splitting numbers" et la topologie géométrique pour l'ensemble d'enlacement- nous prouvons dans ce papier que dans certains cas particuliers ils sont équivalents. Cela nous permet de déduire que l'ensemble d'enlacement n'est pas déterminé par le groupe fondamental du complémentaire de la courbe.

Nous construisons un invariant topologique des courbes algébriques planes, qui est dans un sens, une adaptation des nombres d'enlacement de la théorie des noeuds. Cet invariant est une généralisation de l'invariant I des arrangements de droites, développé par Artal, Florens et le premier auteur. Nous donnons un outils pratique permettant de calculer cet invariant, utilisant une modification de la monodromie de tresse usuelle. Comme application, nous montrons que cet invariant distingue une nouvelle paire de Zariski de courbes, ie une paire de courbes ayant la même combinatoire mais des topologies différentes. Ces exemples sont composés d'une cubique et de 5 tangentes en ses points d'inflexions. Tout comme l'exemple historique de Zariski, cette paire peut être caractérisée de façon géométrique par la position mutuelle de ses points singuliers.

Dans un travail personnel, le troisième auteur a trouvé une combinatoire ayant quatre réalisations dans le groupe cyclotomique des racine cinquième de l'unité et telles que leurs réalisations non complexes conjuguées soit non topologiquement équivalente (dans le sens où elles ne sont pas envoyées de la même façon dans le plan projectif complexe). Ce travail n'implique cependant pas que les complémentaires soit non-isomorphes. Dans ce papier, nous prouvons que les groupes fondamentaux des complémentaires sont non-isomorphes. Cela fournit donc le premier exemple d'une paire de courbes algébriques planes conjuguées sous l'action du groupe de Galois et ayant des groupes fondamentaux de leurs complémentaires non isomorphes (bien qu'ils aient les même complétions profinies).

L’I-invariant a été introduit pour la première fois dans [4]. En s’inspirant des idées de G. Rybnikov, nous obtenons un théorème de multiplicativité de cet invariant sous le recollement de deux arrangements le long d’un triangle. Une application de ce théorème est de prouver que les arrangements de Rybnikov étendus forment une paire de Zariski (i.e. deux arrangements ayant les mêmes informations combinatoires et des topologies différentes). Enfin, nous étendons cette méthode à une famille particulière d’arrangements ; ainsi nous obtenons une méthode pour construire de nouveaux exemples de paires de Zariski.

Soit A un arrangement de droites réelles et D(A) le module des A–dérivations vu comme l’ensemble des champs de vecteurs polynomiaux possédant A comme ensemble invariant. Nous caractérisons tout d’abord les champs possédant une infinité de droites invariantes. Ensuite, nous démontrons que le degré minimal des éléments de D(A) laissant invariant uniquement un nombre fini de droites n’est pas déterminé par la combinatoire de A.

En utilisant l'invariant développé dans [AFG], nous différencions quatre arrangements ayant la même combinatoire mais dans des classes de déformations distinctes. A partir de ces arrangements, nous construisons quatre autres arrangements tels qu'il n'y ait pas d'homéomorphisme préservant l'orientation entre eux. De plus, certains couples formés parmi ce quadruplet forment de nouvelles paires de Zariski arithmétiques, i.e. un couple d'arrangements ayant la même combinatoire mais des plongements différents dans CP^2.

En utilisant l'une des descriptions de l'application inclusion de la variété bord d'un arrangement dans son complémentaire obtenue dans [FGM], nous exhibons un nouvel invariant topologique des arrangements de droites. Cette invariant permet également de calculer explicitement la partie quasi-projective des variétés caractéristiques d'un arrangement de droite.

Nous donnons deux descriptions explicites de l'application de l'inclusion de la variété bord d'un arrangement dans son complémentaire. D'une de ces descriptions, nous obtenons une nouvelle présentation du groupe fondamental du complémentaire généralisant celle de R. Randell au cas de tout les arrangements complexes.